前言

重要观点 1: 矩阵也是有若干个行(列)向量拼成的
重要观点 2：矩阵不能计算

求解线性方程组，就是对增广矩阵作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，然后求解

以下三个问题是等价的：
(1) 求非齐次方程组的解
(2) 求一个向量由一组向量线性表示的系数
(3) 求一个向量在一组基下的坐标(唯一解)

行列式

行列式的七大性质

性质一行列互换，其值不变(行列式转置后值不变)，即 $|A| = |A^T|.$
性质二行列式中某行(列)元素全为 0，则行列式为 0.
性质三行列式中某行(列)元素由公因子 $k(k≠0)$，则 $k$ 可提取到行列式外面.
行列式，某一行(列)倍乘 $k$ ，行列式变成原来的 $k$ 倍. ("倍乘"性质)
性质 4、行列式中某行(列)元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和.
性质 5、行列式中两行(列)交换，行列式的值反号. ("互换"性质)
性质 6、行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例，则行列式为 0.
性质 7、行列式中某行(列)的 $k$ 倍加到另一行(列)，行列式的值不变. ("倍加"性质)

行列式余子式

在n阶行列式中，划去元$a_{ij}$所在的第i行与第j列的元素，剩下的元素不改变原来的顺序所构成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$的余子式。
数学表示上计作 $M_{ij}$

余子式定义

aij 的代数余子式：$A_{ij} = (-1)^{i+j}\bullet M_{ij}.$

行列式与代数余子式的关系
行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和。

行列式的展开定理

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其对应的代数余子式后再求和.

但行列式的某行(列)元素分别乘以另一行(列)元素的代数余子式后再求和，结果为 0.

几大重要的行列式

对角阵行列式(上(下)三角形行列式)，值等于主对角线元素相乘的乘积

副对角线行列式

两个特殊的拉普拉斯展开式

范德蒙德行列式

行和或列和相等的行列式

行和是指每一行元素相加的和
列和是指每一列元素相加的和

理科生的浪漫

$k=$ $\begin{vmatrix}
{我}&{0}&{生}\\
{0}&{有}&{0}\\
{你}&{0}&{幸}\\
\end{vmatrix}$ =我有幸一生有你

用行或列表示的行列式的性质

在线性代数中，我们习惯将向量写成列的形式，即以列表示 αi(i=1,2,…,n) 都是 n 维列向量.

克拉默法则

非齐次线性方程组

若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组的系数行列式 |A| ≠ 0 ，则方程组有唯一解，且 xi = |Ai|/|A| (i=1,2,…,n). 其中 |Ai| 是 |A| 中第 i 列元素(即 xi 的系数)替换成方程组有段的常数项 b1,b2,…,bn 后构成的行列式.

齐次线性方程组

若包含 n 个方程 n 个未知量构成的齐次线性方程组的系数行列式 |A| ≠ 0 ，则方程组有唯一 零解

反之，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 |A| = 0.

矩阵

[注]
① 求逆，必是”方阵”
② |A| ≠ 0，A 可逆
③ A ~ B, 为 A 等价于 B
④ 实对称矩阵：矩阵内元素均为实数，与自身的转置相等, Aij = Aji.

矩阵的基本运算

(1) 相等。A = B，即 A，B 是同型矩阵，且对应元素相等。
(2) 加法。两个矩阵是同型矩阵时，可以相加。
(3) 数乘矩阵 kA = Ak = A 矩阵中的每一个元素都要乘上 k。

① 交换律 A + B = B + A
② 结合律 A + B + C = A + (B + C)
③ 分配律 k(A + B) = kA + kB, (k + l)A = kA + lA
④ 数和矩阵相乘的结合律 k(lA) = (kl)A = l(kA)

(4) 矩阵的乘法
矩阵 A 的列数必须与矩阵 B 的行数相等

矩阵的逆矩阵与伴随矩阵

用公式法求逆矩阵

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*.$

用初等行变换求逆矩阵

[$A | E$] $\to$ [$E | A^{-1}$]

矩阵的秩

$r(A^*)=$ $\begin{cases}
n,r(A)=n,\\
1,r(A)=n-1.\\
0,r(A)\lt n-1.\\
\end{cases}$

伴随矩阵

$AA^*=A^A=|A|E.$
$|A|=|A|^{n-1}$
$(A^*)^*=|A|^{n-2}A.$
$|AA*|=|A|^n.$

向量

内积

$\alpha,\beta$ 的内积为： $(\alpha,\beta)=\alpha^{T}\beta.$

正交

当 $\alpha^{T}\beta=0$ 时，称向量 $\alpha,\beta$ 是正交向量 .

模 $||\alpha||=\sqrt[]{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}$ 称为向量 $\alpha$ 的模（长度）.
$||\alpha||=1$ 时，称 $\alpha$ 为单位向量.

施密特标准正交化（又称正交规范化）过程

线性无关向量组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n)$ 的标准正交化（又称正交规范化）为

$\beta_1 = \alpha_1,$
$\beta_2 = \alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1.$
得到的 $\beta_1,\beta_2$ 是正交向量组
将 $\beta_1,\beta_2$ 单位化，得到 $\eta_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||},\eta_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||}$
则 $\eta_1,\eta_2$ 即为标准正交向量组.