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高等数学知识点

常用基础知识

$\log_a{b}=\frac{\ln b}{\ln a}$
$ln1=0$
$e^{-\infty}=0$
$e^{+\infty}=+\infty$
$arctan(e^*)+arctan(e^{- *})=\frac{\pi}{2}.$
$sin \ arctan \ x = \frac{x}{\sqrt[]{1+x^2}}.$
$cos \ arctan \ x = \frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}.$
$cot \ arctan \ x = \frac{1}{x}.$
$sin \ arccos \ x = {\sqrt[]{1-x^2}}.$
$tan \ arccos \ x = \frac{\sqrt[]{1-x^2}}{x}.$
$sinx+cosx=√2(sinxcos\frac{π}{4}+cosxsin\frac{π}{4})=\sqrt[]{2}sin(x+\frac{π}{4})$

几何

圆的面积
$S=\pi R^2$
圆的周长
$L=2\pi R$

球体

球体的表面积
$S=4\pi R^2$
球体的体积
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

圆锥体

圆锥体的体积
$V=\frac{1}{3}sh.$
$s$ 为圆锥底面积,$h$ 为圆锥的高
$h=\sqrt[]{l^2-r^2}$
$l$ 为母线长,$r$ 为圆锥的底面半径。

圆锥体的表面积 = S侧 + S底
$S=\pi rl+\pi r^2$

基本初等函数

幂指函数转化为复合函数
$u^{v}=e^{vlnu}$

奇函数 + 奇函数 = 奇函数;
偶函数 + 偶函数 = 偶函数;
奇函数 - 偶函数 = 非奇非偶函数;

同偶异奇
奇函数 * 奇函数 = 偶函数;
偶函数 * 偶函数 = 偶函数;
奇函数 * 偶函数 = 奇函数;

函数图像

数列基础

等差数列

① 首项为 $a_1,d$ 为 公差, 通项公式: $a_n=a_1+(n-1)d.$
② 前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n).$

等比数列

① 首项为 $a_1,r$ 为公比,通项公式: $a_n=a_1r^{n-1}.$
② 前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}(r\neq1).$
常用 $1+r+r^2+r^3+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}.$

常见数列之和

$\sum_{k=1}^n{k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}}$
$\sum_{k=1}^n{k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$\sum_{k=1}^n{k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=[ \frac{n(n+1)}{2}}]^2=(\sum_{k=1}^n{k})^2$


三角函数基础

奇变偶不变,符号看象限(任一角度均可表示为$\frac{k\pi}{2}+\alpha$)

特殊的三角函数值

$\alpha$ $0^{o}$ $30^{o}$ $45^{o}$ $60^{o}$ $90^{o}$ $120^{o}$ $135^{o}$ $150^{o}$ $180^{o}$ $270^{o}$ $360^{o}$
$\alpha$ 0 $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$sin\alpha$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1 0
$cos\alpha$ 1 $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ -1 0 1
$tan\alpha$ 0 $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ 1 $\sqrt[]{3}$ $\infty$ $-\sqrt[]{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ 0 $\infty$ 0
$cot\alpha$ $\infty$ $\sqrt[]{3}$ 1 $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ 0 $-\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt[]{3}$ $\infty$ 0 $\infty$

三角函数公式

$sec^2\alpha-tan^2\alpha=1$

倍角公式

$sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$
$cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1$
$sin3\alpha=-4sin^3\alpha+3sin\alpha$
$cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha$
$sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-cos2\alpha)$
$cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+cos2\alpha)$
$tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$
$cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha}$

和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha$
$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\beta\sin\alpha$
$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$


因式分解公式

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$
$\frac{1-x}{1-x^n}=\frac{1}{1+x+x^2+\cdots +x^n}$


高等数学

极限

数列极限

定义: 数列存在极限则收敛,不存在极限则发散。

定理1: 一个收敛的数列,其子数列必收敛.
定理2(唯一性): 一个收敛的数列,极限值必唯一.
定理3(有界性): 一个数列的极限存在,必有界.
定理4(保号性): 一个数列的极限存在,必保号.

压缩映像原理

存在两个常数 A、r $(0< r<1),{x_n}$ 是给定的数列,满足以下两式之一:
①$|x_{n+1}-x_n|\le r|x_n-x_{n-1}|.$
②$|x_{n+1}-A|\le r|x_n-A|.$
那么${x_n}$必收敛,且在②中$\lim_{n\to \infty}x_n=A.$


函数极限

函数极限存在的充分必要条件是 左极限右极限 均存在且相等.
唯一性局部有界性局部保号性

间断点

  1. 可去间断点(第一类间断点)

    若$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\neq f(x_0)$或者$f(x_0)$无定义,则为可取间断点.

  2. 跳跃间断点(第一类间断点)

    函数的左极限和右极限都存在,但不相等,则为跳跃间断点.

  3. 无穷间断点(第二类间断点)

    若$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=\infty$,则为无穷间断点

  4. 振荡间断点(第二类间断点)

    若$lim_{x\to x_0}f(x)$振荡不存在,如$\sin \frac{1}{x}$,则为振荡间断点.

函数极限的计算

  1. 化简是第一步,切记.化简的方法为:
    1. 提出极限不为0的因式;
    2. 等价无穷小替换;
    3. 恒等变形
      1.基本的恒等变形法如:
      A.提公因式
      B.拆项
      C.合并
      D.分子分母同除变量的最高次幂等
  2. 判断七种类型:
    1. $\frac{0}{0}$ 使用洛必达法则 或者 泰勒公式
      A.将头轻脚重的正三角形状 转换成 头重脚轻根底浅的 倒三角形状
      a.例如: $\lim_{x\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^100}$ 令$\frac{1}{x^2}=t$ 在用洛必达法则即可
      B.见根号差,用有理化
      a.例如: $\frac{\sqrt[]{x}- \sqrt[]{y}}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}\bullet \frac{1}{\sqrt[]{x}+ \sqrt[]{y}}$
    2. $\frac{\infty}{\infty}$ 使用洛必达法则 或者 泰勒公式
      A.见根号差,用有理化
    3. $0 \bullet \infty$
      A.将等价无穷小 广义化
      a.例如: $ln(1+x)\sim x$ 广义化为 $lnx=ln(1+x-1)\sim x-1 (x\to 1)$
    4. $\infty - \infty$
      A.如果函数中有分母,则通分,将加减法变形为乘除法,以便于使用其他计算工具(比如洛必达法则)
      B.如果函数中没有分母,则可以通过提取公因式,或者作倒代换,出现分母,再利用通分等恒等变形的方法,将加减法变形为乘除法
    5. $\infty^0$
      A.一般来说,都采用恒等变形
      a.$\lim{}u^v=e^{\lim{vlnu}}$
    6. $0^0$
      A.一般来说,都采用恒等变形
      a.$\lim{}u^v=e^{\lim{vlnu}}$
    7. $1^\infty$
      A.一般来说,都采用恒等变形
      a.$\lim{}u^v=e^{\lim{(u-1)v}}$
      b.$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
      c.$\lim{}u^v=lim{}{[1+(u-1)]^{\frac{1}{u-1}}}^{(u-1)v} =e^{\lim{(u-1)v}}$

无穷小的预算

加减法时 低阶 “吸收” 高阶
乘法时阶数 “累加”。
非零常数 不影响阶数

常用的等价无穷小

当 $x\rightarrow 0$时,常用的等价无穷小有:

$sinx\sim x$
$tanx\sim x$
$arcsinx\sim x$
$arctanx\sim x$
$ln(1+x)\sim x$
$e^x-1\sim x$
$a^x -1 \sim xlna$
$1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^a-1\sim ax$

广义化

狗的乱入

极限解题思路与技巧

使用 夹逼准则 , 洛必达法则 , 泰勒公式
$e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)}-1)=e^{g(x)}[ f(x)-g(x)]$
将等价无穷小 广义化 $lnx=ln(1+x-1)\sim x-1 (x\to 1)$
$I=\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx\sqrt[]{cox2x}\cdots \sqrt[ n]{coxnx}}{x^2}=\frac{n(n+1)}{4}$


导数

$f’(x_0)=\lim_{x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$f’(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的 充分必要条件 是其 左导数右导数 均存在且相等.

求导公式

$f’(x)=\frac{dy}{dx}$
$f’’(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\bullet\frac{dy}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}$

导数的四则运算

$(u\pm v)’=u’\pm v’$
$(u \bullet v)’=u’v+uv’$
$(Cu)’=C \bullet u’$
$(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$

复合函数的导数

${f[g(x)]}\ ‘=f’[g(x)]g’(x)$

反函数的导数

设$y=f(x)$可导,且$f’(x)\neq0$,则存在反函数 $x=\varphi(y)$,且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,即 $\varphi’(y)=\frac{1}{f’(x)}$


基本初等函数的导数公式

$(x^n)’=nx^{n-1}$
$(a^x)’=a^xlna$
$(e^x)=(e^x)’(x)’=e^x$
$(log_ax)’=\frac{1}{x} log_ae=\frac{1}{xlna} (a>0,a\neq0)$
$(sinx)’=cosx$
$(cosx)’=-sinx$
$(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x$
$(cotx)’=-\frac{1}{sin^2x}=-csc^2x$
$(secx)’=tanxsecx$
$(cscx)’=-cotxcscx$
$(arcsinx)’=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$
$(arccosx)’=-\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$
$(arctanx)’=\frac{1}{1+x^2}$
$(arccotx)’=-\frac{1}{1+x^2}$
$(lnx)’=\frac{1}{x}$
$[ln(x + \sqrt[] {x^2+1})]’=\frac{1}{\sqrt[]{x^2+1}}$
$[ln(x - \sqrt[] {x^2+1})]’=\frac{1}{\sqrt[]{x^2-1}}$

常见导数

$C’=0\ C$为常数.
$[ ln\frac{a+x}{a-x}]’=\frac{1}{a^2-x^2}.$

常用导数恒等式

  1. $[xf(x)]’=xf’(x)+f(x).$
  2. $[x^nf(x)]’=x^{n-1}[xf’(x)+nf(x)].$
  3. $[\frac{f(x)}{x}]’=\frac{xf’(x)-f(x)}{x^2}.$
  4. $[\frac{f(x)}{x^n}]’=\frac{xf’(x)-nf(x)}{x^{n+1}}.$
  5. $[e^{\lambda x}f(x)]’=e^{\lambda x}[f’(x)+\lambda f(x)].$
  6. $[e^{-\lambda x}f(x)]’=e^{-\lambda x}[f’(x)-\lambda f(x)].$
  7. $[f(x)f’(x)]’=f(x)f’’(x)+[f’(x)]^2.$

高阶导数

$f^{(n)}(x_0)=lim_{\Delta x\to0}{\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}}$
计算工具使用 泰勒公式幂级数展开式

莱布尼茨公式:
$(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v’+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v’’+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v(k)+\cdots+uv^{(n)}$

也可记为:
$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n{C_n^k{u^{(u-k)}v^{(k)}}}$


一元函数微分学

  1. 单调性的判别
    (使用导数工具)

    一阶导数 $f’(x)>0,$则 严格单调递增.
    一阶导数 $f’(x)<0,$则 严格单调递减.

  2. 一阶可导点极值点必要条件

    设$f(x)$在$x=x_0$处可导,且在点$x_0$处取得极值,则必有$f’(x_0)=0.$

  3. 判断极值的第一充分条件

    一阶导数在$x_0$的左邻域时,$f’(x)<0,$在$x_0$的右邻域时,$f’(x)>0,$则在$x_0$处取极小值.
    一阶导数在$x_0$的左邻域时,$f’(x)>0,$在$x_0$的右邻域时,$f’(x)<0,$则在$x_0$处取极大值.

  4. 判断极值的第二充分条件

    设$f(x)$在$x=x_0$处二阶可导,且$f’(x_0)=0,f’’(x_0)\neq0.$
    (1) 若$f’’(x_0)\lt0,$则在$x_0$处取极大值.
    (2) 若$f’’(x_0)>0,$则在$x_0$处取极小值.

  5. 判断极值的第三充分条件

    设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导,且$f^{(m)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0.$
    (1) 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$时,则在$x_0$处取极大值.
    (2) 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$时,则在$x_0$处取极小值.

函数可导

函数可导的充要条件:函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
函数可导则函数连续;函数连续不一定可导;不连续的函数一定不可导。

函数处处可导

$f(x)=f’(x)$ 诸如 $e^x.$

知识拓展

常值函数

常值函数是其值域仅含一个元素的函数。即对该函数定义域中的一切 $x$,都有 $f(x)=a$,其中 $a$ 是一个固定元素。
常值函数的一阶导数 $f’(x)=0.$

驻点

一阶导数 $f’(x)=0$ 处即为 驻点.
驻点一般为 极值点最值点.

拐点

二阶导数 $f’’(x)=0$ 处即为 拐点.

  1. 判断拐点的第一充分条件

    在 $x_0$ 点 两边邻域 二阶导数存在 且 异号,则为曲线的拐点.

  2. 判断拐点的第二充分条件

    设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处三阶可导,且 $f’’(x_0)=0,f’’’(x_0)\neq0,$ 则为拐点.

  3. 判断拐点的第三充分条件

    设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导,且$f^{(m)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0.$
    则当 $n$ 为奇数时为拐点.

凹凸性

二阶导数 $f’’(x)>0,$ 图形即是 的.
二阶导数 $f’’(x)<0$ 图形即是 的.

渐近线

  1. 水平渐近线

    若 $\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=y_1$
    则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线;
    若 $\lim_{x\to-\infty}{f(x)}=y_2$
    则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线;

  2. 铅直渐近线

    若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$
    (或$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$)
    则 $x=x_0$为一条铅直渐近线;

  3. 斜渐近线

    若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1,\lim_{x\to+\infty}{[f(x)-k_1x]}=b_1,$
    则 $y=k_1x+b_1$是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线;
    若 $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2,\lim_{x\to-\infty}{[f(x)-k_2x]}=b_2,$
    则 $y=k_2x+b_2$是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线;

导数的几何意义

切线

求曲线的 切线方程 是 导数 的重要应用之一
用 导数 求 切线方程 的关键在于求出切点 $P(x_0,y_0)$ 及斜率
其求法为:设 $P(x_0,y_0)$,是曲线 $y=f(x)$ 上的一点,
$y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数值 $f’(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 P$(x_0,y_0)$ 处切线的斜率 $k$
即 $k=f’(x_0)$,则以 $P$ 为切点的

切线方程

$y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)$

法线

法线切线互相垂直,即是切线的斜率 $k_1$ 乘以 法线的斜率 $k_2$ 等于 -1.

$k_1\bullet k_2=-1$

法线方程为:

$y-y_0=-\frac{1}{f’(x_0)}(x-x_0)$
$(f’(x_0)\neq0)$

两条曲线的角度

分别求两条曲线的斜率 $k_1,k_2$ , 夹角满足公式: $tan\theta=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=\alpha.$夹角即为 $arctan\ \alpha.$


微分不等式

(1) 设 $a,b$为实数,
① $\ 2\ |\ ab\ |\le a^2+b^2\ ;$
② $\ |\ a\pm b\ |\le |\ a\ | + |\ b\ |\ ;$
推广为离散情况:
$\ |\ a_1\pm a_2\pm \cdots\pm a_n\ |\le |\ a_1\ | + |\ a_2\ | + \cdots + |\ a_n\ |$ ;
推广为连续情况:
$|\int_a^b{f(x)}dx|\le\int_a^b{|\ f(x)\ |\ dx}\ (a\lt b)$
③ $\ |\ |\ a\ |-|\ b\ |\ |\ \le|\ a-b\ |$
(2) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\gt0,$ 则
① $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ (当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立).
② $|\ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ |\le\sqrt[]{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}$(当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立).
常用两种特殊情况:
当 $n=2$ 时, $\sqrt[]{ab}\le\frac{a+b}{2}\le \sqrt[]{\frac{a^2+b^2}{2}}\ (a,b\gt0);$
当 $n=3$ 时, $\sqrt[ 3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ (a,b,c\gt0);$
(3) 设 $x\gt0,y\gt0,p\gt0,q\gt0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$ 则 $xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.$
(4) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2.$
(5) 若$f(x),g(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$上可积且平方可积,则
$[\ \int_a^b{f(x)\bullet g(x)}dx\ ]^2 \le\int_a^b{f^2(x)}dx\bullet\int_a^b{g^2(x)}dx.$

(7)
③ $sinx\lt x\lt tanx$
④ $arctanx\le x\le arcsinx$
⑤ $e^x\ge x+1,x-1\ge lnx\ (x\gt0).$
⑥ $\frac{1}{1+x}\lt ln(1+\frac{1}{x})\lt\frac{1}{x}\ (x>0).$

常用不等式
$|xsin\frac{1}{x}|\lt1$


中值定理

涉及函数$f(x)$的中值定理

设$f(x)$在$[ a,b]$上连续,则

有界与最值定理

★ 定理 1 (有界与最值定理)

$m\le f(x)\le M,$其中 $m,M$分别为$f(x)$在$[ a,b]$上的最大值和最小值.


介值定理

★ 定理 2 (介值定理)

当$m\le \mu\le M$时,存在$\xi\in[\ a,b\ ]$ ,使得$f(\xi)=\mu.$


平均值定理

★ 定理 3 (平均值定理)

当$a\lt x_1 \lt x_2\lt \cdots \lt x_n \lt b$时,在 $[\ x_1,x_n\ ]$ 内至少有一点 $\xi$ ,使 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.$


零点定理

★ 定理 4 (零点定理)

主要用于证明根的存在性
当$f(a)\bullet f(b) \lt 0$ 时,存在 $\xi\in(\ a,b\ ),$使得$f(\xi)=0.$


涉及导数(微分)$f’(x)$的中值定理

费马定理

★ 定理 5 (费马定理)

设$f(x)$满足在$x_0$点处 $\begin{cases}
(1) 可导,\\
(2) 取极值,\\
\end{cases}$    则$f’(x_0)=0.$


罗尔定理

★ 定理 6 (罗尔定理)

设 $f(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导,则存在 \xi\in(\ a,b\ ),使得f’(\xi)=0.\\
(3) f(a)=f(b).\\
\end{cases}$


拉格朗日中值定理

★ 定理 7 (拉格朗日中值定理)

设 $f(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导,\\
\end{cases}$    则存在 $\xi\in(\ a,b\ )$,
使得 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a),$
或者写成 $f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$


柯西中值定理

★ 定理 8 (柯西中值定理)

设 $f(x),g(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导,\\
(3) g’(x)\neq0 \end{cases}$    则存在 $\xi\in(\ a,b\ )$,使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}.$


泰勒公式

★ 定理 9 (泰勒公式)

通用泰勒公式:

$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}$

$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}$

带拉格朗日余项的泰勒公式:

$f(x)=f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(\xi)}{2!}(x-x_0)^2$

n次多项式的麦克劳林公式:

$f(x)=f(0)+\frac{f’(0)}{1!}\bullet x+\frac{f’’(\xi)}{2!}x^2$


常用泰勒公式

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
$arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+o(x^2)$


幂级数展开式

常用于 与 通用泰勒公式 一起 求 高阶导数

  1. $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$
      $=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$
  2. $\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}$
      $=1-x+x^2-\dots+(-1)^nx^n$
  3. $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}$
      $=1+x+x^2+\dots+x^n$
  4. $ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}$
      $=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}$
  5. $sinx=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
      $=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
  6. $cosx=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$
      $=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$

积分中值定理

★ 定理10 (积分中值定理)

$\int_a^b{f(x)}dx=f(\xi)(b-a).$

解题技巧
见到 $f(x)$ 与 $f’(x)$ 使用 拉格朗日中值定理
见到 $f’(x)$ 与 $f’’(x)$ 使用通用泰勒公式
见到 $f(x)+xf(x)=0$ 则可令 $F(x)=xf(x),$然后求导 $F’(x)=f(x)+xf’(x)$
见到 $xf(x)+f’(x)=0$ 则令 $F(x)=e^{\frac{x^2}{2}},$然后对$F(x)$求导.
见到 $f(x)=f’’(x)$ 则令 $F(x)=e^xf(x)$


积分学

连续函数必有原函数.
含有第一类间断点、无穷间断点的函数,在包含该间断点的区间内必没有原函数.

不定积分

常用不定积分:
$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C.$
$\int tanxdx=-ln|cosx|+C.$
$\int cotdx=ln|sinx|+C.$
$\int f(x)dx=\int_a^x{f(t)dt}+C.$


定积分

定积分存在的充分条件

① 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上连续,则 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.
② 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上有界,且只有有限个间断点,则$\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.
③ 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上单调,则 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.

定积分存在的必要条件

可积函数必有界.
若 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在,则 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上必有界.

定积分的性质

  1. 性质1 (求区间长度) 假设 $ a < b$ ,则 $\int_a^b{}dx=b-a=L,$ 其中 $L$ 为区间 $[\ a,b\ ]$ 的长度.
  2. 性质2 (积分的线性性质) 设 $k_1,k_2$ 为常数,则 $\int_a^b{[\ k_1f(x) \pm k_2g(x)]}dx=k_1\int_a^b{f(x)}dx\pm k_2\int_a^b{g(x)}dx.$
  3. 性质3 (积分的可加(可拆)性) 无论 $a,b,c$ 的大小如何,总有 $\int_a^b{f(x)}dx=\int_c^b{f(x)}dx+\int_a^c{f(x)}dx.$
  4. 性质4 (积分的保号性) 若在区间 $[\ a,b\ ]$ 上 $f(x)\le g(x),$则有 $\int_a^b{f(x)}dx\le\int_a^b{g(x)}dx.$
    特殊地,有 $|\int_a^b{f(x)}dx|\le \int_a^b{|f(x)|}dx.$

若 $f(x)$ 是 $[\ a,b\ ]$上的非负连续函数,只要 $f(x)$ 不恒等于零,则必有 $\int_a^b{f(x)}dx\gt0.$

  1. 性质5 (估值定理) 设 $M,m$ 分别为 $f(x)$ 的最大值和最小值,$L$为区间$[\ a,b\ ]$长度,则有$mL\le\int_a^b{f(x)}dx\le ML.$

  2. 性质6 (积分中值定理

定积分的精确定义

$\int_a^b{f(x)}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}}$
也可以简化式子中的 a,b 特殊化为 0,1,得:
$\int_0^1{f(x)}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}}$
凑定积分定义的步骤:

  1. 先提出 $\frac{1}{n}$
  2. 再凑出 $\frac{i}{n}$
  3. 由于 $\frac{i}{n}=0+\frac{1-0}{n}i$ ,读作“0到1上的dx”,于是凑定义结束.

分部积分法
不定积分的分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu$

定积分的分部积分法

$\int_a^b{uv}dx=uV|_{a}^{b}-\int_a^b{u’V}dx,(V$ 是 $v$ 的原函数$)$

重要公式 $\int{f(x)}dx=xf(x)-\int{xf’(x)}dx$.

三角函数代换换元法
$\sqrt[]{a^2-x^2} \to x=asinx,\ \Rightarrow acosx$
$\sqrt[]{a^2+x^2} \to x=atanx,\ \Rightarrow asecx$
$\sqrt[]{x^2-a^2} \to x=asecx,\ \Rightarrow atanx$

常用积分
$\int\frac{x^2}{1+x^2}dx=x-arctanx+C$
$\int\frac{1}{a^2-x^2} = ln\frac{a+x}{a-x}.$


变限积分

变限积分的求导公式

设 $F(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}{f(t)}dt,$ 则 $F’(x)=[\ \int_{v(x)}^{u(x)}{f(t)}\ dt\ ]’=f[\ u(x)\ ]\ u’(x)-f[\ v(x)\ ]\ v’(x).$


牛顿 - 莱布尼茨 公式

$\int_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)$


反常积分

$\int_a^{+\infty}{f(x)}dx$ 收敛 $\Rightarrow \lim_{x\to\infty}f(x)=0.$

f(x)越小,则$\int_a^{+\infty}{f(x)}dx$ 越容易收敛.

敛散性的判别

  1. 无穷区间的反常积分 $\int_1^{+\infty}{\frac{dx}{x^p}}:$ 在 $p>1$ 时 收敛,在 $p\le1$ 时 发散.
  2. 无界函数的反常积分 $\int_0^1{\frac{dx}{x^p}}($ 奇点 $x=0):$ 在 $p\ge1$ 时 发散,在 $p\lt1$ 时 收敛.

解题方法:先算定积分,再算极限.


区间再现公式

区间再现公式: $\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx.$

若 $f(x)$ 为 $T$ 为周期的可积函数,则 $\int_a^{a+T}{f(x)}dx=\int_0^T{f(x)}dx,a$ 为任意常数.


华里士公式(点火公式)

$\int_0^{2\pi}{sin^nx}dx=\int_0^{2\pi}{cos^nx}dx=$ $\begin{cases}
4\int_0^{\frac{\pi}{2}}{cos^nx}dx, n为偶数\\
0。 n为奇数\\
\end{cases}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{cos^nx}dx$ $\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\bullet\frac{\pi}{2}, n为正偶数\\
\frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}。 n为大于1的奇数\\
\end{cases}$

使用定积分计算函数平均值

$\bar y=\frac{1}{b-a}\int_a^b{y(x)}dx$


二重积分

普通对称性和轮换对称性
偶倍奇零

  1. 直角坐标系下的计算法
    口诀:

    后积先定限
    限内画条线
    先交写下限
    后交写上限
    [注]:从小到大的顺序

  2. 极坐标系下的计算法
    $(x^2+y^2)=R^2$ 这才是使用极坐标系的真正信号
    $x=rcos\theta$
    $y=rsin\theta$
    $d\sigma=d\theta rdr$

形心公式

$\bar x=\frac{\iint_D{x}d\sigma}{\iint_D{}d\sigma}$
$\bar y=\frac{\iint_D{y}d\sigma}{\iint_D{}d\sigma}$

摆线

$x=r\bullet(t-sint)$
$y=r\bullet(1-cost)$

摆线的形心坐标为:
$\bar x=r\pi$
$\bar y=\frac{5}{6}r$


微分方程

含有未知函数 $y=y(x)$ 的导数或者微分的方程 称之为 微分方程。

解的定义:代入方程成立的,就叫解。

解题思路: 按类求解,对号入座
1、一阶方程(可分离变量、齐次型、一阶线性型、可降阶)
2、高阶方程(齐次、非齐次)

多元函数微分学

两大大题考点:
① 多元求(偏)导(纯计算)
② 多元极最值(10‘大题)

求偏导就是固定一个变量,研究另外一个变量。
$\frac{\alpha f(x,y)}{\alpha x}=f’_x(x,y)$
$\frac{\alpha f(x,y)}{\alpha y}=f’_y(x,y)$

全微分

$\alpha z=\frac{\alpha z}{\alpha x}dx+\frac{\alpha z}{\alpha y}dy$

多元函数微分法则

  1. 链式求导规则
    链式求导规则

    在此规则基础上,不论Z对谁求了偏导,也不论求了几阶偏导,求导之后的新函数仍有与Z相同的复合结构.

  2. 隐函数
    将式子整理到 F(x,y,z)=0 的形式,然后 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F’_x}{F’_y}$

    $\frac{\alpha z}{\alpha x}=-\frac{F’_x}{F’_z},$
    $\frac{\alpha z}{\alpha y}=-\frac{F’_x}{F’_y}.$

一阶方程(可分离变量、齐次型、一阶线性型、可降阶)

  1. 变量可分离型
    $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ 若 $,F(x,y)=f(x)g(y)\to \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx.$

  2. 齐次型
    $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}),$ 变量替换法.
    令 $\frac{y}{x} = u,(u=u(x))\to y=ux\to \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}\bullet x + u=f(u)$
    $\frac{du}{dx}\bullet x + u=f(u) \to \frac{du}{dx}\bullet x=f(u) - u \to \int\frac{1}{f(u)-u}du=\int \frac{1}{x}dx.$

  3. 一阶线性型(公式法)
    $y’+p(x)y=q(x).$
    采用公式法:
    $y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int {p(x)}dx} q(x)dx + C ].$

  4. 可降阶型
    [注] 尚有两种类型的方程,貌似二阶实可降阶。
    ① $y’’=f(x,y’)$ 型,缺 $y.$
    [分析] 缺 $y$ 则干掉 $y’,y’’,$ 斩草除根。
    令 $y’=p,$ 则 $y’’=p’.$
    则 $p’=f(x,p)$ $\begin{cases}
    (1) 可分离变量,\\
    (2) 齐次型.\\
    (3) 一阶线性微分方程(公式法).\\
    \end{cases}$
    ② $y’’=f(y,y’)$ 型,缺 $x.$
    [分析] 缺 $x,$ 绝不允许 $x$ 再次出现。
    令 $y’=p,$ 则 $y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p.$
    故 $\frac{dp}{dy}p=f(y,p).$


高阶方程(齐次、非齐次)

一般为 2~4 阶

二阶常系数齐次线性微分方程

  1. $y’’+py’+qy=0$
    ① 写特征方程
    $\lambda^2+p\lambda+q=0,\Delta=p^2-4q.$
    写通解: $\begin{cases}
    \Delta>0\Rightarrow\lambda_1\neq\lambda_2\Rightarrow y=C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x},\\
    \Delta=0\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2\Rightarrow y = C_1 e^{\lambda x} + C_2 xe^{\lambda x},\\
    \Delta<0\Rightarrow\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y = e^{\alpha x}(C_1cos\beta x + C_2sin\beta x).\\
    \end{cases}$

二阶常系数非齐次线性微分方程

  1. $y’’+py’+qy=e^{\alpha x}P_m(x)$
    $P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式.
    通解结构为 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 .
    $y^*=e^{\alpha x}Q_m(x)\bullet x^k.$
    $Q_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次一般多项式.
    $P_0(x)\Rightarrow Q_0(x) = A,$
    $P_1(x)\Rightarrow Q_2(x) = Ax+B,$
    $P_2(x)\Rightarrow Q_2(x) = Ax^2+Bx+C.$
    $k$ 的设定:
    1、一看:自由项中的 $\alpha,$
    2、二算:解特征方程 $\lambda_{1,2},$
    3、三比较:$k=$ $\begin{cases}
    0,\alpha\neq\lambda_{1,2},\\
    1,\alpha\ = \lambda_1 或者 \alpha\ = \lambda_2,\\
    2,\alpha\ = \lambda_1 = \lambda_2.\\
    \end{cases}$

  2. $y’’+py’+qy=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x + P_n(x)sin\beta x]$
    令 $\beta=0,$ 则
    $y^*=e^{\alpha x}[Q_l(x)cos\beta x + Q_l(x)sin\beta x]\bullet x^k.$
    $l=max$ { $m,n$ } .
    $k$ 的设定:
    1、一看:自由项中的 $\alpha,\beta\Rightarrow\alpha\pm\beta i,$
    2、二算:解特征方程 $\lambda_{1,2},$
    3、三比较:$k=$ $\begin{cases}
    0,\alpha\pm\beta i\neq\lambda_{1,2},\\
    1,\alpha\pm\beta i = \lambda_{1,2}.\\
    \end{cases}$


一元函数微分学的物理应用

$s$ 为位移,$t$ 为时间,$s=s(t).$
速度为 $v=\lim_{\Delta t\to0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}=s’(t)$
加速度为 $a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}=s’’(t).$

这就是导数的物理意义.


一元函数微分学的几何应用

曲率公式:

$k=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}.$

曲率半径公式:

$R = \frac{1}{k}.$

曲率圆表达式:

$(X-\alpha)^2+(Y-\beta)^2=R^2.$
其中 $\alpha=x-\frac{y’(1+y’^2)}{y’’},$
  $\beta=y+\frac{1+y’^2}{y’’}$


一元函数积分学的物理应用

  1. 变力沿直线做功

    $F(x)$ 为变力
    $W=\int_a^b{F(x)}dx$

  2. 抽水做功

    $A(x)$ 为水平截面面积
    $W=\rho g\int_a^b{xA(x)}dx$

  3. 水压力

    $f(x)-h(x)$ 为矩形条的宽度
    $P=\rho g\int_a^b{x[f(x)-h(x)]}dx$


一元函数积分学的几何应用

  1. 平面曲线的弧长
    (1) 若平面光滑曲线 $L$ 由 $y=y(x)$ 给出,则
    $$L=\int_a^b{\sqrt[]{1+[y’(x)]^2}dx}.$$
    (2) 若平面光滑曲线 $L$ 由参数式 $\begin{cases}
    x=x(t),\\
    y=y(t).\\
    \end{cases}$ 给出,则
    $$L=\int_a^b{\sqrt[]{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt}.$$
    (3) 若平面光滑曲线 $L$ 由 $r=r(\theta)$ 给出,则
    $$L=\int_a^b{\sqrt[]{[r(\theta)]^2+[r’(\theta)]^2}d\theta}.$$
  2. 旋转曲面的面积
    (1) 曲线 $y=y(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的曲线弧段绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积
    $$S=2\pi\int_a^b{|y(x)|\sqrt[]{1+[y’(x)]^2}dx}.$$
    (2) 曲线 $x=x(t),y=y(t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta]$ 上的曲线弧段绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积
    $$S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}{|y(t)|\sqrt[]{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt}.$$
  3. 平行截面面积为已知的立体体积
    在区间 $[a,b]$ 上,垂直于 $x$ 轴的平面截立体 $\Omega$ 所得到的截面面积为 $x$ 的连续函数 $A(x)$,则 $\Omega$ 的体积为
    $$V=\int_a^b{A(x)}dx.$$

知识拓展

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法


to be continued…

文章作者: Tamsiree
文章链接: https://tamsiree.com/Research/Math/%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9F%A5%E8%AF%86%E7%82%B9/
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