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线性代数知识点总结

前言

重要观点 1: 矩阵也是有若干个行(列)向量拼成的
重要观点 2:矩阵不能计算

求解线性方程组,就是对增广矩阵作初等行变换,化成行阶梯形矩阵,然后求解

以下三个问题是等价的:
(1) 求非齐次方程组的解
(2) 求一个向量由一组向量线性表示的系数
(3) 求一个向量在一组基下的坐标(唯一解)

行列式

行列式的七大性质

  1. 性质一 行列互换,其值不变(行列式转置后值不变),即 $|A| = |A^T|.$
  2. 性质二 行列式中某行(列)元素全为 0,则行列式为 0.
  3. 性质三 行列式中某行(列)元素由公因子 $k(k≠0)$,则 $k$ 可提取到行列式外面.
    行列式,某一行(列)倍乘 $k$ ,行列式变成原来的 $k$ 倍. ("倍乘"性质)
  4. 性质 4、行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和.
  5. 性质 5、行列式中两行(列)交换,行列式的值反号. ("互换"性质)
  6. 性质 6、行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为 0.
  7. 性质 7、行列式中某行(列)的 $k$ 倍加到另一行(列),行列式的值不变. ("倍加"性质)

行列式 余子式

在n阶行列式中,划去元$a_{ij}$所在的第i行与第j列的元素,剩下的元素不改变原来的顺序所构成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$的余子式。
数学表示上计作 $M_{ij}$

余子式定义

aij 的代数余子式 :$A_{ij} = (-1)^{i+j}\bullet M_{ij}.$

行列式代数余子式的关系
行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和。

行列式的展开定理

行列式的值 等于 行列式的 某行(列)元素 分别 乘 其对应的 代数余子式 后 再 求和.

但行列式的 某行(列)元素 分别 乘以 另一行(列)元素 的 代数余子式 后 再 求和,结果为 0.

几大重要的行列式

对角阵行列式(上(下)三角形行列式),值等于主对角线元素相乘的乘积

副对角线行列式

两个特殊的拉普拉斯展开式

范德蒙德行列式

行和 或 列和 相等 的 行列式

行和是指每一行元素相加的和
列和是指每一列元素相加的和

理科生的浪漫

$k=$ $\begin{vmatrix}
{我}&{0}&{生}\\
{0}&{有}&{0}\\
{你}&{0}&{幸}\\
\end{vmatrix}$ =我有幸一生有你

用行或列表示的行列式的性质

在线性代数中,我们习惯将向量写成列的形式,即以列表示 αi(i=1,2,…,n) 都是 n 维列向量.

克拉默法则

非齐次线性方程组

若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组 的 系数行列式 |A| ≠ 0 ,则方程组有唯一解,且 xi = |Ai|/|A| (i=1,2,…,n). 其中 |Ai| 是 |A| 中第 i 列元素(即 xi 的系数)替换成方程组有段的常数项 b1,b2,…,bn 后构成的行列式.

齐次线性方程组

若包含 n 个方程 n 个未知量构成的齐次线性方程组 的 系数行列式 |A| ≠ 0 ,则方程组有唯一

反之,若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式 |A| = 0.

矩阵

[注]
① 求逆,必是”方阵”
② |A| ≠ 0,A 可逆
③ A ~ B, 为 A 等价于 B
④ 实对称矩阵:矩阵内元素均为实数,与自身的转置相等, Aij = Aji.

矩阵的基本运算

(1) 相等。A = B,即 A,B 是同型矩阵,且对应元素相等。
(2) 加法。两个矩阵是同型矩阵时,可以相加。
(3) 数乘矩阵 kA = Ak = A 矩阵中的每一个元素都要乘上 k。

① 交换律 A + B = B + A
② 结合律 A + B + C = A + (B + C)
③ 分配律 k(A + B) = kA + kB, (k + l)A = kA + lA
④ 数和矩阵相乘的结合律 k(lA) = (kl)A = l(kA)

(4) 矩阵的乘法
矩阵 A 的列数必须与矩阵 B 的行数相等

矩阵的逆矩阵与伴随矩阵

用公式法求逆矩阵

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*.$

用初等行变换求逆矩阵

[$A | E$] $\to$ [$E | A^{-1}$]

矩阵的秩

$r(A^*)=$ $\begin{cases}
n,r(A)=n,\\
1,r(A)=n-1.\\
0,r(A)\lt n-1.\\
\end{cases}$

伴随矩阵

$AA^=A^*A=|A|E.$
$|A
|=|A|^{n-1}$
$(A^)^=|A|^{n-2}A.$
$|AA*|=|A|^n.$

向量

内积

$\alpha,\beta$ 的内积为: $(\alpha,\beta)=\alpha^{T}\beta.$

正交

当 $\alpha^{T}\beta=0$ 时,称向量 $\alpha,\beta$ 是正交向量 .

$||\alpha||=\sqrt[]{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}$ 称为向量 $\alpha$ 的模(长度).
$||\alpha||=1$ 时,称 $\alpha$ 为单位向量.

施密特标准正交化(又称正交规范化)过程

线性无关向量组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n)$ 的标准正交化(又称正交规范化)为

$\beta_1 = \alpha_1,$
$\beta_2 = \alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1.$
得到的 $\beta_1,\beta_2$ 是正交向量组
将 $\beta_1,\beta_2$ 单位化,得到 $\eta_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||},\eta_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||}$
则 $\eta_1,\eta_2$ 即为标准正交向量组.

线性方程组

齐次线性方程组

① 写出系数矩阵
② 化 A 为阶梯性
(只准行变换)
③ 在每个台阶上任取一列 $\Rightarrow$ 必线性无关
④ 则剩余位置即为自由变量

非齐次线性方程组

非齐次通解 = 一个 特解 + 齐次通解 .

特解:可令自由变量为零,代入原方程组即可求得.

特征值与特征向量

$|\lambda E-A|=0.$

特征值之和 = 对角元素之和.
特征值之积 = $|A|.$

相似对角化

$P^{-1}AP=B,$则称 $A$ 相似于 $B,$ 记为 $A\sim B.$

$P^{-1}AP=\Lambda,$则称 $A$ 可相似对角化, 记为 $A\sim \Lambda.$

A 对应 的每个 $r_i$ 重特征值都有 $r_i$ 个线性无关的特征向量.

例如 a为 $A_{3\chi 3}$ 的二重特征值,且 R(|aE-A|) = 1,
则线性无关的特征向量个数为 3 - R(|aE-A|) = 2,
则 A 可相似对角化

此例子出过大题

矩阵的等价、相似和合同三者有何区别

  1. 等价(只有秩相同)–>合同(秩和正负惯性指数相同)–>相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同),矩阵亲密关系的一步步深化。
  2. 相似矩阵必为等价矩阵,但等价矩阵未必为相似矩阵 ,PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵。
  3. 合同矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为合同矩阵,正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵。合同矩阵未必是相似矩阵,相似矩阵未必合同。
  4. 正交相似矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵必为相似矩阵。如果A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同的特征根.则A与B既相似又合同。
文章作者: Tamsiree
文章链接: https://tamsiree.com/Research/Math/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9F%A5%E8%AF%86%E7%82%B9%E6%80%BB%E7%BB%93/
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