常用基础知识

$\log_a{b}=\frac{\ln b}{\ln a}$
$ln1=0$
$e^{-\infty}=0$
$e^{+\infty}=+\infty$
$arctan(e^*)+arctan(e^{- *})=\frac{\pi}{2}.$
$sin \ arctan \ x = \frac{x}{\sqrt[]{1+x^2}}.$
$cos \ arctan \ x = \frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}.$
$cot \ arctan \ x = \frac{1}{x}.$
$sin \ arccos \ x = {\sqrt[]{1-x^2}}.$
$tan \ arccos \ x = \frac{\sqrt[]{1-x^2}}{x}.$
$sinx+cosx=√2(sinxcos\frac{π}{4}+cosxsin\frac{π}{4})=\sqrt[]{2}sin(x+\frac{π}{4})$

几何

圆

圆的面积
$S=\pi R^2$
圆的周长
$L=2\pi R$

球体

球体的表面积
$S=4\pi R^2$
球体的体积
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

圆锥体

圆锥体的体积
$V=\frac{1}{3}sh.$
$s$ 为圆锥底面积，$h$ 为圆锥的高
$h=\sqrt[]{l^2-r^2}$
$l$ 为母线长，$r$ 为圆锥的底面半径。

圆锥体的表面积 = S侧 + S底
$S=\pi rl+\pi r^2$

基本初等函数

幂指函数转化为复合函数
$u^{v}=e^{vlnu}$

奇函数 + 奇函数 = 奇函数；
偶函数 + 偶函数 = 偶函数；
奇函数 - 偶函数 = 非奇非偶函数；

同偶异奇
奇函数 * 奇函数 = 偶函数；
偶函数 * 偶函数 = 偶函数；
奇函数 * 偶函数 = 奇函数；

数列基础

等差数列

① 首项为 $a_1,d$ 为公差, 通项公式: $a_n=a_1+(n-1)d.$
② 前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n).$

等比数列

① 首项为 $a_1,r$ 为公比,通项公式: $a_n=a_1r^{n-1}.$
② 前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}(r\neq1).$
常用 $1+r+r^2+r^3+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}.$

常见数列之和

$\sum_{k=1}^n{k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}}$
$\sum_{k=1}^n{k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$\sum_{k=1}^n{k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=[ \frac{n(n+1)}{2}}]^2=(\sum_{k=1}^n{k})^2$

三角函数基础

奇变偶不变，符号看象限(任一角度均可表示为$\frac{k\pi}{2}+\alpha$)

特殊的三角函数值

$\alpha$	$0^{o}$	$30^{o}$	$45^{o}$	$60^{o}$	$90^{o}$	$120^{o}$	$135^{o}$	$150^{o}$	$180^{o}$	$270^{o}$	$360^{o}$
$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt[]{2}}{2}$	$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$	$\frac{\sqrt[]{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0
$cos\alpha$	1	$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$	$\frac{\sqrt[]{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$	-1	0	1
$tan\alpha$	0	$\frac{\sqrt[]{3}}{3}$	1	$\sqrt[]{3}$	$\infty$	$-\sqrt[]{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt[]{3}}{3}$	0	$\infty$	0
$cot\alpha$	$\infty$	$\sqrt[]{3}$	1	$\frac{\sqrt[]{3}}{3}$	0	$-\frac{\sqrt[]{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt[]{3}$	$\infty$	0	$\infty$

三角函数公式

$sec^2\alpha-tan^2\alpha=1$

倍角公式

$sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$
$cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1$
$sin3\alpha=-4sin^3\alpha+3sin\alpha$
$cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha$
$sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-cos2\alpha)$
$cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+cos2\alpha)$
$tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$
$cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha}$

和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha$
$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\beta\sin\alpha$
$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$

因式分解公式

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$
$\frac{1-x}{1-x^n}=\frac{1}{1+x+x^2+\cdots +x^n}$

高等数学

极限

数列极限

定义：数列存在极限则收敛，不存在极限则发散。

定理1: 一个收敛的数列，其子数列必收敛.
定理2(唯一性): 一个收敛的数列，极限值必唯一.
定理3(有界性): 一个数列的极限存在，必有界.
定理4(保号性): 一个数列的极限存在，必保号.

压缩映像原理

存在两个常数 A、r $(0< r<1),{x_n}$ 是给定的数列,满足以下两式之一：
①$|x_{n+1}-x_n|\le r|x_n-x_{n-1}|.$
②$|x_{n+1}-A|\le r|x_n-A|.$
那么${x_n}$必收敛,且在②中$\lim_{n\to \infty}x_n=A.$

函数极限

函数极限存在的充分必要条件是 左极限 与 右极限 均存在且相等.
唯一性，局部有界性，局部保号性。

间断点

可去间断点(第一类间断点)

若$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\neq f(x_0)$或者$f(x_0)$无定义，则为可取间断点.
跳跃间断点(第一类间断点)

函数的左极限和右极限都存在，但不相等，则为跳跃间断点.
无穷间断点(第二类间断点)

若$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=\infty$,则为无穷间断点
振荡间断点(第二类间断点)

若$lim_{x\to x_0}f(x)$振荡不存在,如$\sin \frac{1}{x}$,则为振荡间断点.

函数极限的计算

化简是第一步，切记.化简的方法为：
1. 提出极限不为0的因式；
2. 等价无穷小替换；
3. 恒等变形
  1.基本的恒等变形法如：
  A.提公因式
  B.拆项
  C.合并
  D.分子分母同除变量的最高次幂等
判断七种类型：
1. $\frac{0}{0}$ 使用洛必达法则 或者 泰勒公式
  A.将头轻脚重的正三角形状转换成头重脚轻根底浅的 倒三角形状
  a.例如: $\lim_{x\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^100}$ 令$\frac{1}{x^2}=t$ 在用洛必达法则即可
  B.见根号差，用有理化
  a.例如: $\frac{\sqrt[]{x}- \sqrt[]{y}}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}\bullet \frac{1}{\sqrt[]{x}+ \sqrt[]{y}}$
2. $\frac{\infty}{\infty}$ 使用洛必达法则 或者 泰勒公式
  A.见根号差，用有理化
3. $0 \bullet \infty$
  A.将等价无穷小广义化
  a.例如: $ln(1+x)\sim x$ 广义化为 $lnx=ln(1+x-1)\sim x-1 (x\to 1)$
4. $\infty - \infty$
  A.如果函数中有分母，则通分，将加减法变形为乘除法，以便于使用其他计算工具(比如洛必达法则)
  B.如果函数中没有分母，则可以通过提取公因式，或者作倒代换，出现分母，再利用通分等恒等变形的方法，将加减法变形为乘除法
5. $\infty^0$
  A.一般来说，都采用恒等变形
  a.$\lim{}u^v=e^{\lim{vlnu}}$
6. $0^0$
  A.一般来说，都采用恒等变形
  a.$\lim{}u^v=e^{\lim{vlnu}}$
7. $1^\infty$
  A.一般来说，都采用恒等变形
  a.$\lim{}u^v=e^{\lim{(u-1)v}}$
  b.$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
  c.$\lim{}u^v=lim{}{[1+(u-1)]^{\frac{1}{u-1}}}^{(u-1)v} =e^{\lim{(u-1)v}}$

无穷小的预算

加减法时 低阶 “吸收” 高阶。
乘法时阶数 “累加”。
非零常数不影响阶数

常用的等价无穷小

当 $x\rightarrow 0$时，常用的等价无穷小有：

$sinx\sim x$
$tanx\sim x$
$arcsinx\sim x$
$arctanx\sim x$
$ln(1+x)\sim x$
$e^x-1\sim x$
$a^x -1 \sim xlna$
$1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^a-1\sim ax$

广义化

极限解题思路与技巧

使用 夹逼准则 , 洛必达法则 , 泰勒公式
$e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)}-1)=e^{g(x)}[ f(x)-g(x)]$
将等价无穷小广义化 $lnx=ln(1+x-1)\sim x-1 (x\to 1)$
$I=\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx\sqrt[]{cox2x}\cdots \sqrt[ n]{coxnx}}{x^2}=\frac{n(n+1)}{4}$

导数

$f’(x_0)=\lim_{x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$f’(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的 充分必要条件 是其 左导数 与 右导数 均存在且相等.

求导公式

$f’(x)=\frac{dy}{dx}$
$f’’(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\bullet\frac{dy}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}$

导数的四则运算

$(u\pm v)’=u’\pm v’$
$(u \bullet v)’=u’v+uv’$
$(Cu)’=C \bullet u’$
$(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$

复合函数的导数

${f[g(x)]}\ ‘=f’[g(x)]g’(x)$

反函数的导数

设$y=f(x)$可导，且$f’(x)\neq0$，则存在反函数 $x=\varphi(y)$,且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,即 $\varphi’(y)=\frac{1}{f’(x)}$

基本初等函数的导数公式

$(x^n)’=nx^{n-1}$
$(a^x)’=a^xlna$
$(e^x)=(e^x)’(x)’=e^x$
$(log_ax)’=\frac{1}{x} log_ae=\frac{1}{xlna} (a>0,a\neq0)$
$(sinx)’=cosx$
$(cosx)’=-sinx$
$(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x$
$(cotx)’=-\frac{1}{sin^2x}=-csc^2x$
$(secx)’=tanxsecx$
$(cscx)’=-cotxcscx$
$(arcsinx)’=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$
$(arccosx)’=-\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$
$(arctanx)’=\frac{1}{1+x^2}$
$(arccotx)’=-\frac{1}{1+x^2}$
$(lnx)’=\frac{1}{x}$
$[ln(x + \sqrt[] {x^2+1})]’=\frac{1}{\sqrt[]{x^2+1}}$
$[ln(x - \sqrt[] {x^2+1})]’=\frac{1}{\sqrt[]{x^2-1}}$

常见导数

$C’=0\ C$为常数.
$[ ln\frac{a+x}{a-x}]’=\frac{1}{a^2-x^2}.$

常用导数恒等式

$[xf(x)]’=xf’(x)+f(x).$

$[x^nf(x)]’=x^{n-1}[xf’(x)+nf(x)].$

$[\frac{f(x)}{x}]’=\frac{xf’(x)-f(x)}{x^2}.$

$[\frac{f(x)}{x^n}]’=\frac{xf’(x)-nf(x)}{x^{n+1}}.$

$[e^{\lambda x}f(x)]’=e^{\lambda x}[f’(x)+\lambda f(x)].$

$[e^{-\lambda x}f(x)]’=e^{-\lambda x}[f’(x)-\lambda f(x)].$

$[f(x)f’(x)]’=f(x)f’’(x)+[f’(x)]^2.$

高阶导数

$f^{(n)}(x_0)=lim_{\Delta x\to0}{\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}}$
计算工具使用 泰勒公式 与 幂级数展开式

莱布尼茨公式：
$(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v’+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v’’+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v(k)+\cdots+uv^{(n)}$

也可记为:
$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n{C_n^k{u^{(u-k)}v^{(k)}}}$

一元函数微分学

单调性的判别
(使用导数工具)

一阶导数 $f’(x)>0,$则严格单调递增.
一阶导数 $f’(x)<0,$则严格单调递减.
一阶可导点 是 极值点 的 必要条件

设$f(x)$在$x=x_0$处可导，且在点$x_0$处取得极值，则必有$f’(x_0)=0.$
判断极值的第一充分条件

一阶导数在$x_0$的左邻域时，$f’(x)<0,$在$x_0$的右邻域时，$f’(x)>0,$则在$x_0$处取极小值.
一阶导数在$x_0$的左邻域时，$f’(x)>0,$在$x_0$的右邻域时，$f’(x)<0,$则在$x_0$处取极大值.
判断极值的第二充分条件

设$f(x)$在$x=x_0$处二阶可导，且$f’(x_0)=0,f’’(x_0)\neq0.$
(1) 若$f’’(x_0)\lt0,$则在$x_0$处取极大值.
(2) 若$f’’(x_0)>0,$则在$x_0$处取极小值.
判断极值的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且$f^{(m)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0.$
(1) 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$时，则在$x_0$处取极大值.
(2) 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$时，则在$x_0$处取极小值.

函数可导

函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

函数处处可导

$f(x)=f’(x)$ 诸如 $e^x.$

知识拓展

常值函数

常值函数是其值域仅含一个元素的函数。即对该函数定义域中的一切 $x$，都有 $f(x)=a$，其中 $a$ 是一个固定元素。
常值函数的一阶导数 $f’(x)=0.$

驻点

一阶导数 $f’(x)=0$ 处即为 驻点.
驻点一般为 极值点 或 最值点.

拐点

二阶导数 $f’’(x)=0$ 处即为 拐点.

判断拐点的第一充分条件

在 $x_0$ 点两边邻域二阶导数存在且异号，则为曲线的拐点.
判断拐点的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处三阶可导，且 $f’’(x_0)=0,f’’’(x_0)\neq0,$ 则为拐点.
判断拐点的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且$f^{(m)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0.$
则当 $n$ 为奇数时为拐点.

凹凸性

二阶导数 $f’’(x)>0,$ 图形即是 凹 的.
二阶导数 $f’’(x)<0$ 图形即是 凸 的.

渐近线

水平渐近线

若 $\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=y_1$
则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；
若 $\lim_{x\to-\infty}{f(x)}=y_2$
则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线；
铅直渐近线

若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$
（或$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$）
则 $x=x_0$为一条铅直渐近线；
斜渐近线

若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1,\lim_{x\to+\infty}{[f(x)-k_1x]}=b_1,$
则 $y=k_1x+b_1$是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；
若 $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2,\lim_{x\to-\infty}{[f(x)-k_2x]}=b_2,$
则 $y=k_2x+b_2$是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；

导数的几何意义

切线

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一
用导数求切线方程的关键在于求出切点 $P(x_0,y_0)$ 及斜率
其求法为:设 $P(x_0,y_0)$,是曲线 $y=f(x)$ 上的一点,
$y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数值 $f’(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 P$(x_0,y_0)$ 处切线的斜率 $k$
即 $k=f’(x_0)$,则以 $P$ 为切点的

切线方程为

$y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)$

法线

法线与切线互相垂直，即是切线的斜率 $k_1$ 乘以法线的斜率 $k_2$ 等于 -1.

$k_1\bullet k_2=-1$

法线方程为:

$y-y_0=-\frac{1}{f’(x_0)}(x-x_0)$
$(f’(x_0)\neq0)$

两条曲线的角度

分别求两条曲线的斜率 $k_1,k_2$ , 夹角满足公式: $tan\theta=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=\alpha.$夹角即为 $arctan\ \alpha.$

微分不等式

(1) 设 $a,b$为实数,
① $\ 2\ |\ ab\ |\le a^2+b^2\ ;$
② $\ |\ a\pm b\ |\le |\ a\ | + |\ b\ |\ ;$
推广为离散情况:
$\ |\ a_1\pm a_2\pm \cdots\pm a_n\ |\le |\ a_1\ | + |\ a_2\ | + \cdots + |\ a_n\ |$ ;
推广为连续情况:
$|\int_a^b{f(x)}dx|\le\int_a^b{|\ f(x)\ |\ dx}\ (a\lt b)$
③ $\ |\ |\ a\ |-|\ b\ |\ |\ \le|\ a-b\ |$
(2) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\gt0,$ 则
① $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ （当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立）.
② $|\ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ |\le\sqrt[]{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}$（当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立）.
常用两种特殊情况:
当 $n=2$ 时, $\sqrt[]{ab}\le\frac{a+b}{2}\le \sqrt[]{\frac{a^2+b^2}{2}}\ (a,b\gt0);$
当 $n=3$ 时, $\sqrt[ 3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ (a,b,c\gt0);$
(3) 设 $x\gt0,y\gt0,p\gt0,q\gt0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$ 则 $xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.$
(4) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2.$
(5) 若$f(x),g(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$上可积且平方可积，则
$[\ \int_a^b{f(x)\bullet g(x)}dx\ ]^2 \le\int_a^b{f^2(x)}dx\bullet\int_a^b{g^2(x)}dx.$

(7)
③ $sinx\lt x\lt tanx$
④ $arctanx\le x\le arcsinx$
⑤ $e^x\ge x+1,x-1\ge lnx\ (x\gt0).$
⑥ $\frac{1}{1+x}\lt ln(1+\frac{1}{x})\lt\frac{1}{x}\ (x>0).$

常用不等式
$|xsin\frac{1}{x}|\lt1$

中值定理

涉及函数$f(x)$的中值定理

设$f(x)$在$[ a,b]$上连续,则

有界与最值定理

★ 定理 1 （有界与最值定理）

$m\le f(x)\le M,$其中 $m,M$分别为$f(x)$在$[ a,b]$上的最大值和最小值.

介值定理

★ 定理 2 （介值定理）

当$m\le \mu\le M$时，存在$\xi\in[\ a,b\ ]$ ，使得$f(\xi)=\mu.$

平均值定理

★ 定理 3 （平均值定理）

当$a\lt x_1 \lt x_2\lt \cdots \lt x_n \lt b$时，在 $[\ x_1,x_n\ ]$ 内至少有一点 $\xi$ ,使 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.$

零点定理

★ 定理 4 （零点定理）

主要用于证明根的存在性
当$f(a)\bullet f(b) \lt 0$ 时，存在 $\xi\in(\ a,b\ ),$使得$f(\xi)=0.$

涉及导数(微分)$f’(x)$的中值定理

费马定理

★ 定理 5 （费马定理）

设$f(x)$满足在$x_0$点处 $\begin{cases}
(1) 可导,\\
(2) 取极值,\\
\end{cases}$　　　　则$f’(x_0)=0.$

罗尔定理

★ 定理 6 （罗尔定理）

设 $f(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导，则存在 \xi\in(\ a,b\ ),使得f’(\xi)=0.\\
(3) f(a)=f(b).\\
\end{cases}$

拉格朗日中值定理

★ 定理 7 （拉格朗日中值定理）

设 $f(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导,\\
\end{cases}$　　　　则存在 $\xi\in(\ a,b\ )$,
使得 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a),$
或者写成 $f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

★ 定理 8 （柯西中值定理）

设 $f(x),g(x)$ 满足 $\begin{cases}
(1) [\ a,b\ ]上连续,\\
(2) (\ a,b\ )内可导,\\
(3) g’(x)\neq0 \end{cases}$　　　　则存在 $\xi\in(\ a,b\ )$,使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}.$

泰勒公式

★ 定理 9 （泰勒公式）

通用泰勒公式:

$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}$

$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}$

带拉格朗日余项的泰勒公式:

$f(x)=f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(\xi)}{2!}(x-x_0)^2$

n次多项式的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+\frac{f’(0)}{1!}\bullet x+\frac{f’’(\xi)}{2!}x^2$

常用泰勒公式

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
$arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+o(x^2)$

幂级数展开式

常用于与 通用泰勒公式 一起求 高阶导数

$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$
　　$=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$

$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}$
　　$=1-x+x^2-\dots+(-1)^nx^n$

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}$
　　$=1+x+x^2+\dots+x^n$

$ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}$
　　$=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}$

$sinx=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
　　$=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$cosx=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$
　　$=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$

积分中值定理

★ 定理10 （积分中值定理）

$\int_a^b{f(x)}dx=f(\xi)(b-a).$

解题技巧
见到 $f(x)$ 与 $f’(x)$ 使用 拉格朗日中值定理
见到 $f’(x)$ 与 $f’’(x)$ 使用通用泰勒公式
见到 $f(x)+xf(x)=0$ 则可令 $F(x)=xf(x),$然后求导 $F’(x)=f(x)+xf’(x)$
见到 $xf(x)+f’(x)=0$ 则令 $F(x)=e^{\frac{x^2}{2}},$然后对$F(x)$求导.
见到 $f(x)=f’’(x)$ 则令 $F(x)=e^xf(x)$

积分学

连续函数必有原函数.
含有第一类间断点、无穷间断点的函数，在包含该间断点的区间内必没有原函数.

不定积分

常用不定积分:
$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C.$
$\int tanxdx=-ln|cosx|+C.$
$\int cotdx=ln|sinx|+C.$
$\int f(x)dx=\int_a^x{f(t)dt}+C.$

定积分

定积分存在的充分条件

① 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上连续，则 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.
② 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上有界，且只有有限个间断点，则$\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.
③ 若 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上单调，则 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在.

定积分存在的必要条件

可积函数必有界.
若 $\int_b^a{f(x)}dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[\ a,b\ ]$ 上必有界.

定积分的性质

性质1 （求区间长度）假设 $ a < b$ ,则 $\int_a^b{}dx=b-a=L,$ 其中 $L$ 为区间 $[\ a,b\ ]$ 的长度.
性质2 （积分的线性性质）设 $k_1,k_2$ 为常数,则 $\int_a^b{[\ k_1f(x) \pm k_2g(x)]}dx=k_1\int_a^b{f(x)}dx\pm k_2\int_a^b{g(x)}dx.$
性质3 （积分的可加（可拆）性）无论 $a,b,c$ 的大小如何，总有 $\int_a^b{f(x)}dx=\int_c^b{f(x)}dx+\int_a^c{f(x)}dx.$
性质4 （积分的保号性）若在区间 $[\ a,b\ ]$ 上 $f(x)\le g(x),$则有 $\int_a^b{f(x)}dx\le\int_a^b{g(x)}dx.$
特殊地，有 $|\int_a^b{f(x)}dx|\le \int_a^b{|f(x)|}dx.$

若 $f(x)$ 是 $[\ a,b\ ]$上的非负连续函数,只要 $f(x)$ 不恒等于零，则必有 $\int_a^b{f(x)}dx\gt0.$

性质5 （估值定理）设 $M,m$ 分别为 $f(x)$ 的最大值和最小值，$L$为区间$[\ a,b\ ]$长度，则有$mL\le\int_a^b{f(x)}dx\le ML.$
性质6 （积分中值定理）

定积分的精确定义

$\int_a^b{f(x)}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}}$
也可以简化式子中的 a,b 特殊化为 0,1,得：
$\int_0^1{f(x)}dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}}$
凑定积分定义的步骤：

先提出 $\frac{1}{n}$

再凑出 $\frac{i}{n}$

由于 $\frac{i}{n}=0+\frac{1-0}{n}i$ ,读作“0到1上的dx”，于是凑定义结束.

分部积分法

不定积分的分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu$

定积分的分部积分法

$\int_a^b{uv}dx=uV|_{a}^{b}-\int_a^b{u’V}dx,(V$ 是 $v$ 的原函数$)$

重要公式 $\int{f(x)}dx=xf(x)-\int{xf’(x)}dx$.

三角函数代换换元法
$\sqrt[]{a^2-x^2} \to x=asinx,\ \Rightarrow acosx$
$\sqrt[]{a^2+x^2} \to x=atanx,\ \Rightarrow asecx$
$\sqrt[]{x^2-a^2} \to x=asecx,\ \Rightarrow atanx$

常用积分
$\int\frac{x^2}{1+x^2}dx=x-arctanx+C$
$\int\frac{1}{a^2-x^2} = ln\frac{a+x}{a-x}.$

变限积分

变限积分的求导公式

设 $F(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}{f(t)}dt,$ 则 $F’(x)=[\ \int_{v(x)}^{u(x)}{f(t)}\ dt\ ]’=f[\ u(x)\ ]\ u’(x)-f[\ v(x)\ ]\ v’(x).$

牛顿 - 莱布尼茨公式

$\int_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)$

反常积分

$\int_a^{+\infty}{f(x)}dx$ 收敛 $\Rightarrow \lim_{x\to\infty}f(x)=0.$

f(x)越小，则$\int_a^{+\infty}{f(x)}dx$ 越容易收敛.

敛散性的判别

无穷区间的反常积分 $\int_1^{+\infty}{\frac{dx}{x^p}}:$ 在 $p>1$ 时 收敛，在 $p\le1$ 时 发散.
无界函数的反常积分 $\int_0^1{\frac{dx}{x^p}}($ 奇点 $x=0):$ 在 $p\ge1$ 时 发散，在 $p\lt1$ 时 收敛.

解题方法：先算定积分，再算极限.

区间再现公式

区间再现公式： $\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx.$

若 $f(x)$ 为 $T$ 为周期的可积函数，则 $\int_a^{a+T}{f(x)}dx=\int_0^T{f(x)}dx,a$ 为任意常数.

华里士公式（点火公式）

$\int_0^{2\pi}{sin^nx}dx=\int_0^{2\pi}{cos^nx}dx=$ $\begin{cases}
4\int_0^{\frac{\pi}{2}}{cos^nx}dx, n为偶数\\
0。 n为奇数\\
\end{cases}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{cos^nx}dx$ $\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\bullet\frac{\pi}{2}, n为正偶数\\
\frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}。 n为大于1的奇数\\
\end{cases}$

使用定积分计算函数平均值

$\bar y=\frac{1}{b-a}\int_a^b{y(x)}dx$

二重积分

普通对称性和轮换对称性
偶倍奇零

直角坐标系下的计算法
口诀：

后积先定限
限内画条线
先交写下限
后交写上限
[注]：从小到大的顺序
极坐标系下的计算法
$(x^2+y^2)=R^2$ 这才是使用极坐标系的真正信号
$x=rcos\theta$
$y=rsin\theta$
$d\sigma=d\theta rdr$

形心公式

$\bar x=\frac{\iint_D{x}d\sigma}{\iint_D{}d\sigma}$
$\bar y=\frac{\iint_D{y}d\sigma}{\iint_D{}d\sigma}$

摆线

$x=r\bullet(t-sint)$
$y=r\bullet(1-cost)$

摆线的形心坐标为:
$\bar x=r\pi$
$\bar y=\frac{5}{6}r$

微分方程

含有未知函数 $y=y(x)$ 的导数或者微分的方程称之为微分方程。

解的定义：代入方程成立的，就叫解。

解题思路：按类求解，对号入座
1、一阶方程（可分离变量、齐次型、一阶线性型、可降阶）
2、高阶方程（齐次、非齐次）

多元函数微分学

两大大题考点：
① 多元求（偏）导（纯计算）
② 多元极最值（10‘大题）

求偏导就是固定一个变量，研究另外一个变量。
$\frac{\alpha f(x,y)}{\alpha x}=f’_x(x,y)$
$\frac{\alpha f(x,y)}{\alpha y}=f’_y(x,y)$

全微分

$\alpha z=\frac{\alpha z}{\alpha x}dx+\frac{\alpha z}{\alpha y}dy$

多元函数微分法则

链式求导规则

在此规则基础上，不论Z对谁求了偏导，也不论求了几阶偏导，求导之后的新函数仍有与Z相同的复合结构.
隐函数
将式子整理到 F(x,y,z)=0 的形式，然后 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F’_x}{F’_y}$

$\frac{\alpha z}{\alpha x}=-\frac{F’_x}{F’_z},$
$\frac{\alpha z}{\alpha y}=-\frac{F’_x}{F’_y}.$

一阶方程（可分离变量、齐次型、一阶线性型、可降阶）

变量可分离型
$\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ 若 $,F(x,y)=f(x)g(y)\to \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx.$
齐次型
$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}),$ 变量替换法.
令 $\frac{y}{x} = u,(u=u(x))\to y=ux\to \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}\bullet x + u=f(u)$
$\frac{du}{dx}\bullet x + u=f(u) \to \frac{du}{dx}\bullet x=f(u) - u \to \int\frac{1}{f(u)-u}du=\int \frac{1}{x}dx.$
一阶线性型(公式法)
$y’+p(x)y=q(x).$
采用公式法:
$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int {p(x)}dx} q(x)dx + C ].$
可降阶型
[注] 尚有两种类型的方程，貌似二阶实可降阶。
① $y’’=f(x,y’)$ 型，缺 $y.$
[分析] 缺 $y$ 则干掉 $y’,y’’,$ 斩草除根。
令 $y’=p,$ 则 $y’’=p’.$
则 $p’=f(x,p)$ $\begin{cases}
(1) 可分离变量,\\
(2) 齐次型.\\
(3) 一阶线性微分方程(公式法).\\
\end{cases}$
② $y’’=f(y,y’)$ 型，缺 $x.$
[分析] 缺 $x,$ 绝不允许 $x$ 再次出现。
令 $y’=p,$ 则 $y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p.$
故 $\frac{dp}{dy}p=f(y,p).$

高阶方程（齐次、非齐次）

一般为 2~4 阶

二阶常系数齐次线性微分方程

$y’’+py’+qy=0$
① 写特征方程
$\lambda^2+p\lambda+q=0,\Delta=p^2-4q.$
写通解： $\begin{cases}
\Delta>0\Rightarrow\lambda_1\neq\lambda_2\Rightarrow y=C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x},\\
\Delta=0\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2\Rightarrow y = C_1 e^{\lambda x} + C_2 xe^{\lambda x},\\
\Delta<0\Rightarrow\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y = e^{\alpha x}(C_1cos\beta x + C_2sin\beta x).\\
\end{cases}$

二阶常系数非齐次线性微分方程

$y’’+py’+qy=e^{\alpha x}P_m(x)$
$P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式.
通解结构为 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 .
$y^*=e^{\alpha x}Q_m(x)\bullet x^k.$
$Q_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次一般多项式.
$P_0(x)\Rightarrow Q_0(x) = A,$
$P_1(x)\Rightarrow Q_2(x) = Ax+B,$
$P_2(x)\Rightarrow Q_2(x) = Ax^2+Bx+C.$
$k$ 的设定：
1、一看：自由项中的 $\alpha,$
2、二算：解特征方程 $\lambda_{1,2},$
3、三比较：$k=$ $\begin{cases}
0,\alpha\neq\lambda_{1,2},\\
1,\alpha\ = \lambda_1 或者 \alpha\ = \lambda_2,\\
2,\alpha\ = \lambda_1 = \lambda_2.\\
\end{cases}$
$y’’+py’+qy=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x + P_n(x)sin\beta x]$
令 $\beta=0,$ 则
$y^*=e^{\alpha x}[Q_l(x)cos\beta x + Q_l(x)sin\beta x]\bullet x^k.$
$l=max$ { $m,n$ } .
$k$ 的设定：
1、一看：自由项中的 $\alpha,\beta\Rightarrow\alpha\pm\beta i,$
2、二算：解特征方程 $\lambda_{1,2},$
3、三比较：$k=$ $\begin{cases}
0,\alpha\pm\beta i\neq\lambda_{1,2},\\
1,\alpha\pm\beta i = \lambda_{1,2}.\\
\end{cases}$

一元函数微分学的物理应用

$s$ 为位移，$t$ 为时间，$s=s(t).$
速度为 $v=\lim_{\Delta t\to0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}=s’(t)$
加速度为 $a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}}=s’’(t).$

这就是导数的物理意义.

一元函数微分学的几何应用

曲率公式:

$k=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}.$

曲率半径公式:

$R = \frac{1}{k}.$

曲率圆表达式:

$(X-\alpha)^2+(Y-\beta)^2=R^2.$
其中 $\alpha=x-\frac{y’(1+y’^2)}{y’’},$
　　$\beta=y+\frac{1+y’^2}{y’’}$

一元函数积分学的物理应用

变力沿直线做功

$F(x)$ 为变力
$W=\int_a^b{F(x)}dx$
抽水做功

$A(x)$ 为水平截面面积
$W=\rho g\int_a^b{xA(x)}dx$
水压力

$f(x)-h(x)$ 为矩形条的宽度
$P=\rho g\int_a^b{x[f(x)-h(x)]}dx$

一元函数积分学的几何应用

平面曲线的弧长
(1) 若平面光滑曲线 $L$ 由 $y=y(x)$ 给出,则
$$L=\int_a^b{\sqrt[]{1+[y’(x)]^2}dx}.$$
(2) 若平面光滑曲线 $L$ 由参数式 $\begin{cases}
x=x(t),\\
y=y(t).\\
\end{cases}$ 给出,则
$$L=\int_a^b{\sqrt[]{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt}.$$
(3) 若平面光滑曲线 $L$ 由 $r=r(\theta)$ 给出,则
$$L=\int_a^b{\sqrt[]{[r(\theta)]^2+[r’(\theta)]^2}d\theta}.$$
旋转曲面的面积
(1) 曲线 $y=y(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的曲线弧段绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积
$$S=2\pi\int_a^b{|y(x)|\sqrt[]{1+[y’(x)]^2}dx}.$$
(2) 曲线 $x=x(t),y=y(t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta]$ 上的曲线弧段绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积
$$S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}{|y(t)|\sqrt[]{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt}.$$
平行截面面积为已知的立体体积
在区间 $[a,b]$ 上，垂直于 $x$ 轴的平面截立体 $\Omega$ 所得到的截面面积为 $x$ 的连续函数 $A(x)$,则 $\Omega$ 的体积为
$$V=\int_a^b{A(x)}dx.$$

知识拓展

拉格朗日乘数法

to be continued…

常用基础知识

几何

圆

球体

圆锥体

基本初等函数

数列基础

等差数列

等比数列

常见数列之和

三角函数基础

特殊的三角函数值

三角函数公式

倍角公式

和差公式

因式分解公式

高等数学

极限

数列极限

压缩映像原理

函数极限

间断点

函数极限的计算

无穷小的预算

常用的等价无穷小

极限解题思路与技巧

导数

求导公式

导数的四则运算

复合函数的导数

反函数的导数

基本初等函数的导数公式

常见导数

常用导数恒等式

高阶导数

一元函数微分学

函数可导

函数处处可导

知识拓展

常值函数

驻点

拐点

凹凸性

渐近线

导数的几何意义

切线

法线

两条曲线的角度

微分不等式

中值定理

有界与最值定理

介值定理

平均值定理

零点定理

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒公式

通用泰勒公式:

常用泰勒公式

幂级数展开式

积分中值定理

积分学

不定积分

定积分

定积分存在的充分条件

定积分存在的必要条件

定积分的性质

定积分的精确定义

分部积分法

不定积分的分部积分法

定积分的分部积分法

变限积分

变限积分的求导公式

牛顿 - 莱布尼茨 公式

反常积分

敛散性的判别

区间再现公式

华里士公式（点火公式）

牛顿 - 莱布尼茨公式